Montrer que pour la méthode des rectangles à gauche, $$\varepsilon_f(h)\leqslant{{\frac{b-a}2\max_{[a,b]}\lvert f^\prime\rvert h}}$$

Appliquer la relation de Chasles sur l'intégrale
On a $$\begin{align}\varepsilon_f(h)&=\left\lvert\int^b_af(x)\,dx-\sum^{N-1}_{k=0}(x_{k+1}-x_k)f(x_k)\right\rvert\\ &=\left\lvert\sum^{N-1}_{k=0}\int^{x_{k+1}}_{x_k}f(x)\,dx-\sum^{N-1}_{k=0}\int^{x_{k+1}}_{x_k}f(x_k)\,dx\right\rvert\end{align}$$

Inégalité triangulaire
$$\leqslant\sum^{N-1}_{k=0}\int^{x_{k+1}}_{x_k}\left\lvert f(x)-f(x_k)\right\rvert\,dx$$

Or, $$\lvert f(x)-f(x_k)\rvert\leqslant\max_{[a,b]}\lvert f^\prime\rvert\lvert x-x_k\rvert$$

Injecter dans l'expression de \(\varepsilon\)
$$\implies\varepsilon_f(h)\leqslant\sum^{N-1}_{k=0}\max\lvert f^\prime\rvert\int^{x_{k+1}}_{x_k}(x-x_k)\,dx$$

Résolution de l'intégrale
$$\leqslant\frac{\max_{[a,b]}\lvert f^\prime\rvert}2\sum^{N-1}_{k=0}(x_{k+1}-x_k)^2=$$

Résolution de la somme
$$\leqslant\frac{\max_{[a,b]}\lvert f^\prime\rvert}2Nh^2$$

Remplacer \(N\) par \((b-a)/h\)

$$\leqslant\frac{\max_{[a,b]}\lvert f^\prime\rvert}2(b-a)h$$